MATEMATIKA INFORMATIKA

FUNGSI NUMERIK

Fungsi Diskret Numerik (disingkat fungsi numerik) adalah fungsi yang domainnya bilangan bulat nonnegatif, dan kodomainnya bilangan real.

Sebuah fungsi adalah sebuah relasi biner yang secara unik menugaskan kepada

setiap anggota domain, satu dan hanya satu elemen kodomain. Fungsi diskrit numerik,

atau singkatnya disebut fungsi numerik, adalah sebuah fungsi dengan himpunan

bilangan cacah sebagai domain dan himpunan bilangan riil sebagai kodomainnya.

Fungsi numerik ini menjadi pokok bahasan yang menarik karena sering digunakan

dalam komputasi digital.

MANIPULASI FUNGSI NUMERIK

Jumlah dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya pada n tertentu sama dengan jumlah harga-harga dari kedua fungsi numerik pada  n.

Contoh 4.1.

Jika diketahui   an = 2n , n ³ 0,    bn = 5 , n ³ 0    dan    cn = an + bn  ,

maka  cn = 2n + 5 , n ³ 0.

Hasil kali (produk) dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya pada  n  tertentu sama dengan hasil kali harga-harga dari kedua fungsi numerik pada  n.

Contoh 4.2.

Jika diketahui   an = 2n , n ³ 0,    bn = 5 , n ³ 0    dan    dn = an . bn  ,

maka   dn = 5(2n) , n ³ 0.

Beda maju (forward difference) dari sebuah fungsi numerik  an  adalah sebuah fungsi numerik yang dinyatakan dengan   Da , dimana harga  Da  pada n sama dengan harga    an+1 - an .

Da = an+1 - an  ,   n ³ 0.

Beda ke belakang (backward difference) dari sebuah fungsi numerik  an  adalah sebuah fungsi numerik dinyatakan dengan Ña , dimana harga Ña pada n = 0  sama dengan harga a0  dan  harga  Ña  pada n ³ 1 sama dengan  an - an-1 .

Ña  =  

Contoh 4.3.

Misalkan  bn = 9n , n ³ 0  dan    en = Db,  maka     en = 9n ,  n ³ 0                                        

Contoh 4.4.

Misalkan  bn = 9n , n ³ 0  dan    fn = Ñb,  maka   

                                                         

SOAL!

1.    Jika diketahui Yn = 3n dan Zn = 4 untuk n ≥ 0 dan Xn = Yn + Zn, maka ....

a.    Xn = 4n + 3          

b.    Xn = 3n = 4

c.    Xn = 3n + 4

d.    Xn = 3 + 4n

JAWAB :

Jumlah dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya pada n tertentu sama dengan jumlah harga-harga dari kedua fungsi numerik pada n. Jika Yn = 3n dan Zn = 4 dan Xn = Yn + Zn maka Xn = 3n + 4 ...... C. Xn = 3n + 4

2.    Jika diketahui Yn = 5n dan Zn = 3 untuk n ≥ 0 dan Xn = Yn . Zn, maka ....

a.    Xn = 5n3n

b.    Xn = 3(5n)

c.    Xn = (5n)3

d.    Xn = 5n/3

JAWAB :

Hasil kali dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya pada n tertentu sama dengan hasil kali harga-harga dari kedua fungsi numerik pada n.Jika Yn = 5n dan Zn = 3 dan Xn = Yn . Zn maka Xn = 3(5n) .....B. Xn = 3(5n)

JAWAB :

Misalkan An adalah sebuah fungsi numerik dan i adalah sebuah integer positif. Kita gunakan SiA untuk menyatakan fungsi numerik yang nilainya 0 pada n = 0,1,…, (i-1) dan nilainya sama dengan A n-i pada n ≥ i. Dengan rumus :

4.     Jika Xn = 4n dan Yn = S-3 untuk n ≥ 0, maka...

a.    Yn = 4n+3

b.    Yn = 43

c.    Yn = 4n-3

d.    Yn = 43n

JAWAB :

Misalkan An adalah sebuah fungsi numerik dan i adalah sebuah integer positif. Kita gunakan S-iA untuk menyatakan fungsi numerik yang nilainya sama dengan A n+i pada n ≥ 0.Dengan rumus :

S-iA = A n+i

Jika Xn = 4n dan Yn = S-3 maka Yn = 4n+3   ...... A. Yn = 4n+3

5.    Jika An = 5n dan Bn = ΔA untuk n ≥ 0,maka....

a.    Bn = 5n – n

b.    Bn = 5n-1

c.    Bn = 5n+1 – 5n

d.    Bn = 5n+1 + 5n

JAWAB :

ΔA adalah beda maju dari An. Beda maju (forward difference) dari sebuah fungsi numerik An adalah sebuah fungsi numerik yang dinyatakan dengan ΔA , dimana harga ΔA pada n sama dengan harga An+1 - An sehingga jika An = 5n dan Bn = ΔA maka Bn = 5n+1 – 5n  ..... C. 5n+1 – 5n

6. .    Jika Xn = 3n dan Yn = ∇X untuk n ≥ 0,maka...

JAWAB :

Beda ke belakang (backward difference) dari sebuah fungsi numerik Xn adalah sebuah fungsi numerik dinyatakan dengan ∇X , dimana harga ∇X pada n = 0 sama dengan harga X0 dan harga ∇X pada n ≥ 1 sama dengan Xn -Xn-1 dengan rumus :

Jawab :

Jumlah dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya pada n tertentu sama dengan jumlah harga-harga dari kedua fungsi numerik pada n.    

a. tn = 

Jawaban :

9. Jika bn = 2n , n ≥ 0 dan fn = ∇b, tentukan  fn =……..

JAWAB  :

Beda ke belakang (backward difference) dari sebuah fungsi numerik Xn adalah sebuah fungsi numerik dinyatakan dengan ∇X , dimana harga ∇X pada n = 0 sama dengan harga X0 dan harga ∇X pada n ≥ 1 sama dengan Xn - Xn-1 dengan rumus :

10. Jika bn = 2n , n ≥ 0 dan en = Δb, tentukan  maka en= …!!

a.    en = 2n, n ≥ 0

b.    en=2n+1-2n , n ≥ 0

c.    en=2n-1+2n , n ≥ 0

d.    en=n2, n ≥ 0

JAWAB :

ΔA adalah beda maju dari bn. Beda maju (forward difference) dari sebuah fungsi numerikbn adalah sebuah fungsi numerik yang dinyatakan dengan ΔA , dimana harga ΔA pada n sama dengan harga An+1 - An sehingga jika bn = 2n dan en = ΔA maka  a. en = 2n, n ≥ 0