MATEMATIKA INFORMATIKA

FUNGSI NUMERIK

Fungsi Diskret Numerik (disingkat fungsi numerik) adalah fungsi yang domainnya bilangan bulat nonnegatif, dan kodomainnya bilangan real.

Sebuah fungsi adalah sebuah relasi biner yang secara unik menugaskan kepada

setiap anggota domain, satu dan hanya satu elemen kodomain. Fungsi diskrit numerik,

atau singkatnya disebut fungsi numerik, adalah sebuah fungsi dengan himpunan

bilangan cacah sebagai domain dan himpunan bilangan riil sebagai kodomainnya.

Fungsi numerik ini menjadi pokok bahasan yang menarik karena sering digunakan

dalam komputasi digital.

MANIPULASI FUNGSI NUMERIK

Jumlah dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya pada n tertentu sama dengan jumlah harga-harga dari kedua fungsi numerik pada  n.

Contoh 4.1.

Jika diketahui   an = 2n , n ³ 0,    bn = 5 , n ³ 0    dan    cn = an + bn  ,

maka  cn = 2n + 5 , n ³ 0.

Hasil kali (produk) dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya pada  n  tertentu sama dengan hasil kali harga-harga dari kedua fungsi numerik pada  n.

Contoh 4.2.

Jika diketahui   an = 2n , n ³ 0,    bn = 5 , n ³ 0    dan    dn = an . bn  ,

maka   dn = 5(2n) , n ³ 0.

Beda maju (forward difference) dari sebuah fungsi numerik  an  adalah sebuah fungsi numerik yang dinyatakan dengan   Da , dimana harga  Da  pada n sama dengan harga    an+1 - an .

Da = an+1 - an  ,   n ³ 0.

Beda ke belakang (backward difference) dari sebuah fungsi numerik  an  adalah sebuah fungsi numerik dinyatakan dengan Ña , dimana harga Ña pada n = 0  sama dengan harga a0  dan  harga  Ña  pada n ³ 1 sama dengan  an - an-1 .

Ña  =  

Contoh 4.3.

Misalkan  bn = 9n , n ³ 0  dan    en = Db,  maka     en = 9n ,  n ³ 0                                        

Contoh 4.4.

Misalkan  bn = 9n , n ³ 0  dan    fn = Ñb,  maka   

                                                         

SOAL!

1.    Jika diketahui Yn = 3n dan Zn = 4 untuk n ≥ 0 dan Xn = Yn + Zn, maka ....

a.    Xn = 4n + 3          

b.    Xn = 3n = 4

c.    Xn = 3n + 4

d.    Xn = 3 + 4n

JAWAB :

Jumlah dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya pada n tertentu sama dengan jumlah harga-harga dari kedua fungsi numerik pada n. Jika Yn = 3n dan Zn = 4 dan Xn = Yn + Zn maka Xn = 3n + 4 ...... C. Xn = 3n + 4

2.    Jika diketahui Yn = 5n dan Zn = 3 untuk n ≥ 0 dan Xn = Yn . Zn, maka ....

a.    Xn = 5n3n

b.    Xn = 3(5n)

c.    Xn = (5n)3

d.    Xn = 5n/3

JAWAB :

Hasil kali dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya pada n tertentu sama dengan hasil kali harga-harga dari kedua fungsi numerik pada n.Jika Yn = 5n dan Zn = 3 dan Xn = Yn . Zn maka Xn = 3(5n) .....B. Xn = 3(5n)

JAWAB :

Misalkan An adalah sebuah fungsi numerik dan i adalah sebuah integer positif. Kita gunakan SiA untuk menyatakan fungsi numerik yang nilainya 0 pada n = 0,1,…, (i-1) dan nilainya sama dengan A n-i pada n ≥ i. Dengan rumus :

4.     Jika Xn = 4n dan Yn = S-3 untuk n ≥ 0, maka...

a.    Yn = 4n+3

b.    Yn = 43

c.    Yn = 4n-3

d.    Yn = 43n

JAWAB :

Misalkan An adalah sebuah fungsi numerik dan i adalah sebuah integer positif. Kita gunakan S-iA untuk menyatakan fungsi numerik yang nilainya sama dengan A n+i pada n ≥ 0.Dengan rumus :

S-iA = A n+i

Jika Xn = 4n dan Yn = S-3 maka Yn = 4n+3   ...... A. Yn = 4n+3

5.    Jika An = 5n dan Bn = ΔA untuk n ≥ 0,maka....

a.    Bn = 5n – n

b.    Bn = 5n-1

c.    Bn = 5n+1 – 5n

d.    Bn = 5n+1 + 5n

JAWAB :

ΔA adalah beda maju dari An. Beda maju (forward difference) dari sebuah fungsi numerik An adalah sebuah fungsi numerik yang dinyatakan dengan ΔA , dimana harga ΔA pada n sama dengan harga An+1 - An sehingga jika An = 5n dan Bn = ΔA maka Bn = 5n+1 – 5n  ..... C. 5n+1 – 5n

6. .    Jika Xn = 3n dan Yn = ∇X untuk n ≥ 0,maka...

JAWAB :

Beda ke belakang (backward difference) dari sebuah fungsi numerik Xn adalah sebuah fungsi numerik dinyatakan dengan ∇X , dimana harga ∇X pada n = 0 sama dengan harga X0 dan harga ∇X pada n ≥ 1 sama dengan Xn -Xn-1 dengan rumus :

Jawab :

Jumlah dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya pada n tertentu sama dengan jumlah harga-harga dari kedua fungsi numerik pada n.    

a. tn = 

Jawaban :

9. Jika bn = 2n , n ≥ 0 dan fn = ∇b, tentukan  fn =……..

JAWAB  :

Beda ke belakang (backward difference) dari sebuah fungsi numerik Xn adalah sebuah fungsi numerik dinyatakan dengan ∇X , dimana harga ∇X pada n = 0 sama dengan harga X0 dan harga ∇X pada n ≥ 1 sama dengan Xn - Xn-1 dengan rumus :

10. Jika bn = 2n , n ≥ 0 dan en = Δb, tentukan  maka en= …!!

a.    en = 2n, n ≥ 0

b.    en=2n+1-2n , n ≥ 0

c.    en=2n-1+2n , n ≥ 0

d.    en=n2, n ≥ 0

JAWAB :

ΔA adalah beda maju dari bn. Beda maju (forward difference) dari sebuah fungsi numerikbn adalah sebuah fungsi numerik yang dinyatakan dengan ΔA , dimana harga ΔA pada n sama dengan harga An+1 - An sehingga jika bn = 2n dan en = ΔA maka  a. en = 2n, n ≥ 0

Tugas MATIF

1.       A  = {2,4,6,8,....}

A adalah himpunan bilangan asli genap.Apakah himpunan A bisa dikatakan operasi biner apabila dipandang dari

a)      Operasi penjumlahan

b)      Operasi perkalian

JAWAB :

a)      Operasi penjumlahan

Himpunan bilangan genap bisa dibilang tertutup pada operasi penjumlahan.Sebagai contoh

2 + 2 = 4 Є A

2 + 4 = 6 Є A

2 + 8 = 10 Є A

Dst.

Artinya setiap hasil penjumlahan dari anggota elemen A yg berupa bilangan genap maka hasilnya pun akan berupa bilangan genap. Maka dari itu himpunan A adalah operasi biner karena tertutup pada operasi penjumlahan.

b)      Operasi perkalian

Sama seperti operasi penjumlahan,bilangan genap juga tertutup terhadap operasi perkalian.Sebagai contoh

2 * 2 = 4 Є A

2 * 4 = 8 Є A

2 * 6 = 12 Є A

Dst.

Setiap hasil perkalian dari sesama anggota himpunan A yang berupa bilangan genap akan menghasilkan bilangan genap pula.Maka dari itu himpunan A adalah operasi biner karena tertutup terhadap operasi perkalian.

2.       S  = {0,1,2,3,4}

Apabila dilihat dari operasi penjumlahan dan pengurangan,maka penjumlahan dan pengurangan bukan merupakan operasi biner pada S.Coba kalian jelaskan alasannya.

JAWAB :

Jika dilihat dari operasi penjumlahan

0 + 1 = 1 Є S

0 + 2 = 2 Є S

1 + 2 = 3 Є S

3 + 4 = 7 bukan merupakan elemen dari S

Jika dilihat dari operasi pengurangan

0 – 1 = -1 bukan merupakan elemen dari S

1 – 1 = 0 Є S

2 – 1 = 1 Є S

Dilihat dari 2 operasi tadi,himpunan S tidak memenuhi syarat untuk operasi penjumlahan maupun pengurangan yg tertutup karena ada salah satu elemen yg jika ditambah/dikurang dengan sesama elemen dari S menghasilkan bilangan yang bukan merupakan anggota himpunan S.

Makna Kesaktian Pancasila Terhadap Kepribadian Bangsa

 Tepat tanggal 1 oktober, kita kembali memperingati hari yang sangat krusial bagi terciptanya kehidupan berbangsa dan bernegara di Republik Indonesia. Mungkin kini banyak yang lupa atau bahkan melupakan hari kesaktian Pancasila, sebab seiring perkembangan teknologi dan informasi yang semain pesat, kita pun seakan terbius untuk melupakan sejarah yang sangat penting sebagai wujud terbentuknya dasar negara kepulauan, Indonesia. Peringatan Kesaktian Pancasila ini berakar pada sebuah peristiwa tanggal 30 September  1965. Konon, ini adalah awal dari Gerakan 30 September (G.30.S/PKI). Oleh pemerintah Indonesia, pemberontakan ini merupakan wujud usaha mengubah unsur Pancasila menjadi ideologi komunis.

Pada saat itu setidaknya ada enam orang Jendral dan berberapa orang lainnya dibunuh sebagai upaya kudeta. Namun, berkat kesadaran untuk mempertahankan Pancasila maka upaya tersebut mengalami kegagalan.

Maka, tanggal 30 September diperingati sebagai Hari Peringatan Gerakan 30 September dan tanggal 1 Oktober ditetapkan sebagai Hari Kesaktian Pancasila dalam sejarah Republik Indonesia.

Makna Kesaktian Pancasila

Sebagai dasar negara, Pancasila tidak hanya merupakan sumber derivasi peraturan perundang-undangan. Melainkan juga Pancasila dapat dikatakan sebagai sumber moralitas terutama dalam hubungan dengan legitimasi kekuasaan, hukum, serta berbagai kebijakan dalam pelaksanaan dan penyelenggaraan negara. Pancasila mengandung berbagai makna dalam  kehidupan berbangsa dan bernegara.

Makna yang pertama Moralitas, sila pertama, “Ketuhanan Yang Maha Esa” mengandung pengertian bahwa negara Indonesia bukanlah negara teokrasi yang hanya berdasarkan kekuasaan negara dan penyelenggaraan negara pada legitimasi religius. Kekuasaan kepala negara tidak bersifat mutlak berdasarkan legitimasi religius, melainkan berdasarkan legitimasi hukum serta legitimasi demokrasi. Oleh karenanya asas sila pertama Pancasila lebih berkaitan dengan legitimasi moralitas. Para pejabat eksekutif, anggota legislatif, maupun yudikatif, para pejabat negara, serta para penegak hukum, haruslah menyadari bahwa selain legitimasi hukum dan legitimasi demokratis yang kita junjung, juga harus diikutsertakan dengan legitimasi moral. Misalnya, suatu kebijakan sesuai hukum, tapi belum tentu sesuai dengan moral. Salah satu contoh yang teranyar yakni gaji para pejabat penyelenggara negara itu sesuai dengan hukum, namun mengingat kondisi rakyat yang sangat menderita belum tentu layak secara moral (legitimasi moral).

Hal inilah yang membedakan negara yang berketuhanan Yang Maha Esa dengan negara teokrasi. Walaupun dalam negara Indonesia tidak mendasarkan pada legitimasi religius, namun secara moralitas kehidupan negara harus sesuai dengan nilai-nilai Tuhan terutama hukum serta moral dalam kehidupan bernegara.

Makna kedua Kemanusiaan, “Kemanusiaan yang Adil dan Beradab” mengandung makna bahwa negara harus menjunjung tinggi harkat dan martabat manusia sebagai makhluk yang beradab, selain terkait juga dengan nilai-nilai moralitas dalm kehidupan bernegara.

Negara pada prinsipnya adalah merupakan persekutuan hidup manusia sebagai makhluk Tuhan Yang Maha Esa. Bangsa Indonesia sebagai bagian dari umat manusia di dunia hidup secara bersama-sama dalam suatu wilayah tertentu, dengan suatu cita-cita serta prinsip-prinsip hidup demi kesejahteraan bersama.

Kemanusiaan yang adil dan beradab mengandung nilai suatu kesadaran sikap moral dan tingkah laku manusia yang didasarkan pada potensi budi nurani manusia dalam hubungan norma-norma baik terhadap diri sendiri, sesama manusia, maupun terhadap lingkungannya.

Oleh Karena itu, manusia pada hakikatnya merupakan asas yang bersifat fundamental dan mutlak dalam kehidupan negara dan hukum. Dalam kehidupan negara kemanusiaan harus mendapat jaminan hukum, maka hal inilah yang diistilahkan dengan jaminan atas hak-hak dasar (asas) manusia. Selain itu, asas kemanusiaan juga harus merupakan prinsip dasar moralitas dalam pelaksanaan dan penyelenggaraan negara.

Makna ketiga Keadilan,  Sebagai bangsa yang hidup bersama dalam suatu negara, sudah barang tentu keadilan dalam hidup bersama sebagaimana yang terkandung dalam sila II dan V adalah merupakan tujuan dalam kehidupan negara. Nilai kemanusiaan yang adil mengandung suatu makna bahwa pada hakikatnya manusia sebagai makhluk yang berbudaya dan beradab harus berkodrat adil. Dalam pengertian hal ini juga bahwa hakikatnya manusia harus adil dalam hubungan dengan diri sendiri, adil terhadap manusia lain, adil terhadap lingkungannya, adil terhadap bangsa dan negara, serta adil terhadap Tuhannya. Oleh karena itu, dalam pelaksanaan dan penyelenggaraan negara, segala kebijakan, kekuasaan, kewenangan, serta pembagian senantiasa harus berdasarkan atas keadilan. Pelanggaran atas prinsip-prinsip keadilan dalam kehidupan kenegaraan akan menimbulkan ketidakseimbangan dalam kehidupan berbangsa dan bernegara.

Makna keempat Persatuan, Dalam sila “Persatuan Indonesia” sebagaimana yang terkandung dalam sila III, Pancasila mengandung nilai bahwa negara adalah sebagai penjelmaan sifat kodrat manusia monodualis, yaitu sebagai makhluk individu dan makhluk sosial. Negara merupakan suatu persekutuan hidup bersama diantara elemen-elemen yang membentuk negara berupa suku, ras, kelompok, golongan, dan agama. Konsekuensinya negara adalah beraneka ragam tetapi tetap satu sebagaimana yang tertuang dalam slogan negara yakni Bhinneka Tunggal Ika.

Makna kelima Demokrasi, Negara adalah dari rakyat dan untuk rakyat, oleh karena itu rakyat adalah merupakan asal mula kekuasaan negara. Sehingga dalam sila kerakyatan terkandung makna demokrasi yang secara mutlak harus dilaksanakan dalam kehidupan bernegara. Maka nilai-nilai demokrasi yang terkandung dalam Pancasila adalah adanya kebebasan dalam memeluk agama dan keyakinannya, adanya kebebasan berkelompok, adanya kebebasan berpendapat dan menyuarakan opininya, serta kebebasan yang secara moral dan etika harus sesuai dengan prinsip kehidupan berbangsa dan bernegara.

Sumber :

http://bundadontworry.wordpress.com/2010/10/01/makna-kesaktian-pancasila/

http://old-kaskus.blogspot.com/2012/09/makna-kesaktian-pancasila.html